PRÉ-SOCRÁTICOS (3)

PITÁGORAS

         

Pitágoras de Samos (cerca de 570 a.C. – 495 a.C.) foi um filósofo e matemático grego jônico creditado como fundador do movimente chamado Pitagorismo. A maioria das informações sobre Pitágoras foram escritas séculos depois que ele viveu, de modo que há pouca informação confiável sobre ele. Nasceu na ilha de Samos e viajou para o Egito e Grécia e talvez à Índia, em 520 a. C. voltou a Samos. Cerca de 530 a. C., se mudou para Crotona, na Magna Grécia.

BIOGRAFIA

        

Nascido na ilha grega de Samos, sua mãe se chamava Pythais e seu pai Mnesarchus era um mercador da cidade de Tiro, além de Pitágoras havia outros dois ou três filhos. Pitágoras passou a infância em Samos embora tenha viajado bastante com seu pai; ele foi treinado pelos melhores preceptores, alguns deles filósofos. Tocava lira, aprendeu aritmética, geometria, astronomia e poesia.

         Em cerca de 535 a.C., Pitágoras viajou para o Egito – alguns anos após a ocupação de Samos pelo tirano Polícrates – lá, conheceu os templos e aprendeu sobre os sacerdotes locais.

        

Cambises I

Em 525 a.C., o rei persa Cambises I atacou o Egito e Pitágoras foi capturado e enviado para a cidade de Babilônia onde conheceu o sacerdote Mago que o instruiu sobre ensinamentos espirituais.

         Em 522 a.C. ambos Polícrates e Cambises já haviam morrido, então Pitágoras retorna a Samos onde funda uma escola de filosofia chamada Semicírculo.

         Por volta de 518 a.C., para evitar conflitos políticos, viaja para o sul da Itália, para a cidade de Crotona onde funda uma escola espiritual, lá, casa-se com Theanos de Creta, filha de Pythenax com quem tem uma filha, Mya.

A ESCOLA PITAGÓRICA

         Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para eles o número, sinônimo de harmonia, é constituído da soma de pares e ímpares (os números pares e ímpares expressando as relações que encontram em permanente processo de mutação), sendo considerado como a essência das coisas, criando noções opostas (limitado e ilimitado) e a base da teoria da harmonia das esferas.

        

Segundo os pitagóricos, o cosmo é regido por revelações matemáticas. A observação dos astros sugeriu-lhes que uma ordem domina o universo. Evidências disso estariam no dia e noite, no alterar-se das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas. Por isso o mundo poderia ser chamado de cosmos, termo que contém as ideias de ordem, de correspondência e de beleza. Nessa cosmovisão também concluíram que a Terra é esférica, estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um fogo central. Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação da Terra sobre o eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou dos seus discípulos (já que há obscuridades em torno do pitagorismo, devido ao caráter esotérico e secreto da escola) deu-se no domínio da geometria e se refere às relações entre os lados do triângulo retângulo. A descoberta foi enunciada no teorema de Pitágoras.

        

Pitágoras foi expulso de Crotona e passou a morar em Metaponto, onde morreu provavelmente em 496 a.C. ou 497 a.C. Segundo o pitagorismo, a essência, que é o princípio fundamental que forma todas as coisa é o número. Os pitagóricos não distinguem forma, lei e substância, considerando o número o elo entre estes elementos. Para esta escola existiam quatro elementos: terra, água, ar e fogo.

         Assim, Pitágoras e os pitagóricos investigaram as relações matemáticas e descobriram vários fundamentos da física e da matemática.

        

O símbolo utilizado pela escola era o pentagrama que, como descobriu Pitágoras, possui algumas propriedades interessantes. Um pentagrama é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular; pelas intersecções dos segmentos desta diagonal, é obtido um novo pentágono regular, que é proporcional ao original exatamente pela razão áurea.

        

Pitágoras descobriu em que proporções uma corda deve ser dividida para a obtenção das notas musicais no início, sem altura definida, sendo uma tomada como fundamental (pensemos numa longa corda presa a duas extremidades que, quando tangida, nos dará o som mais grave) – e a partir dela, gerar-se-á a quinta e a terça através da reverberação harmônica. Os sons harmônicos. Prendendo-se a metade da corda, depois a terça parte e depois a quinta parte conseguiremos os intervalos de quinta e terça em relação à fundamental. 

A chamada Série Harmônica. À medida que subdividimos a corda obtemos sons mais altos e os intervalos serão diferentes. E assim sucessivamente. Descobriu ainda que frações simples das notas, tocadas juntamente com a nota original, produzem sons agradáveis. Já as frações mais complicadas, tocadas com a nota original, produzem sons desagradáveis.

        

Seu nome está ligado principalmente ao importante teorema que afirma: em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

         A escola pitagórica era conectada com concepções esotéricas e a moral pitagórica enfatizava o conceito de harmonia, práticas ascéticas e defendia a metempsicose (transmigração da alma, de um corpo para outro). A propósito, no seu livro A Vida de Apolônio de Tiana, Filóstrato escreveu que Pitágoras não só sabia quem era como quem tinha sido.

         Durante o século IV a.C., verificou-se, no mundo grego, uma revivescência da vida religiosa. Segundo alguns historiadores, um dos fatores que concorreram para esse fenômeno foi a linha política adotada pelos tiranos: para garantir o papel de líderes populares e para enfraquecer a antiga aristocracia, os tiranos estimulavam a expansão de cultos populares ou estrangeiros.

        

Dentre esses cultos, um teve enorme difusão: o Orfismo (de Orfeu), originário da Trácia, e que era uma religião essencialmente esotérica. Os seguidores desta doutrina acreditavam na imortalidade da alma, ou seja, enquanto o corpo se degenerava, a alma migrava para outro corpo, por várias vezes, a fim de efetivar a purificação. Dionísio guiaria este ciclo de reencarnações, podendo ajudar o homem a libertar-se dele.

        

Pitágoras seguia uma doutrina diferente. Teria chegado à concepção de que todas as coisas são números e o processo de libertação da alma seria resultante de um esforço basicamente intelectual. A purificação resultaria de um trabalho intelectual, que descobre a estrutura numérica das coisas e torna, assim, a alma como uma unidade harmônica. Os números não seriam, neste caso, os símbolos, mas os valores das grandezas, ou seja, o mundo não seria composto dos números 0, 1, 2, etc., mas dos valores que eles exprimem. Assim, portanto, uma coisa manifestaria externamente a estrutura numérica, sendo esta coisa o que é por causa deste valor.

PRINCIPAIS DESCOBERTAS

         Além de grandes míticos, os pitagóricos eram grandes matemáticos. Eles descobriram propriedades interessantes e curiosas sobre os números.

NÚMEROS FIGURADOS

        

Os pitagóricos estudaram e demonstraram várias propriedades dos números figurados. Entre estes o mais importante era o número triangular 10, chamado pelos pitagóricos de Tetraktys, tétrada em português. Este número era visto como um número místico uma vez que continha os quatro elementos fogo, água, ar e terra: 10 = 1 + 2 + 3 + 4, e servia de representação para a completude do todo.

a

aa

aaa

aaaa

         A tétrada, que os pitagóricos desenhavam com um a em cima, dois abaixo deste, depois três e por fim quatro na base, era um dos símbolos principais do seu conhecimento avançado das realidades teóricas.

NÚMEROS PERFEITOS

        

A soma dos divisores de determinado número com exceção dele mesmo, é o próprio número. Exemplos:

  1.   Os divisores de 6 são 1, 2. 3 e 6. 

       Então 1 + 2 + 3 = 6

   2.   Os divisores de 28 são 1, 2, 4, 7, 14 e 28. 

        Então 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

TEOREMA DE PITÁGORAS

        

Um problema não solucionado na época de Pitágoras era determinar as relações entre os lados de um triângulo retângulo. Pitágoras provou que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

        

O primeiro número irracional a ser descoberto foi a raiz quadrada do número 2, que surgiu exatamente da aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo de catetos valendo 1. Os gregos não conheciam o símbolo da raiz quadrada e diziam simplesmente: “o número que multiplicado por si mesmo é dois”. A partir da descoberta da raiz de 2 foram descobertos muitos outros números irracionais.

REITOR DA PRIMEIRA UNIVERSIDADE 

         A palavra Matemática (Mathematike, em grego) surgiu com Pitágoras, que foi o primeiro a concebê-la como um sistema de pensamento, fulcrado em provas dedutivas.

                          Mathematike

    

Existem, no entanto, indícios de que o chamado Teorema de Pitágoras (c²= a² + b²) já era conhecido dos babilônios em 1600 a.C., com escopo empírico. Estes usavam sistemas de notação sexagesimal na medida do tempo (1 hora = 60 minutos) e na medida de ângulos (60°, 120°, 180°. 240°, 360°).

        

Pitágoras percorreu por 30 anos o Egito, Babilônia, Síria, Fenícia e talvez a Índia e a Pérsia, onde acumulou ecléticos conhecimentos de astronomia, matemática, ciência, filosofia, misticismo e religião. Ele foi contemporâneo de Tales de Mileto, Buda, Confúcio e Lao-Tsé.

         Quando retornou a Samos, indispôs-se com o tirano Polícrates e emigrou para o sul da Itália, na Ilha de Crotona, de dominação grega. Aí fundou a Escola Pitagórica, a quem se concede a glória de ser a “primeira universidade do mundo”.

        

Polícrates, o tirano de Samos e sua filha

A Escola Pitagórica e as atividades se viram desde então envoltas num véu de lendas. Foi uma entidade parcialmente secreta com centenas de alunos que compunham uma irmandade religiosa e intelectual. Entre os conceitos que defendiam, destacam-se:

·        Prática de rituais de purificação e crença na doutrina da metempsicose, isto é, na transmigração da alma após a morte, de um corpo para outros. Portanto, advogavam a reencarnação e a imortalidade da alma;

·        Lealdade entre membros e distribuição comunitária dos bens materiais;

·        Austeridade, ascetismo e obediência à hierarquia da escola;

·        Proibição de beber vinho e comer carne (portanto é falsa a informação que os discípulos tivessem mandado matar 100 bois quando da demonstração do denominado Teorema de Pitágoras);

·        Purificação da mente pelo estudo de Geometria, Aritmética, Música e Astronomia;

·        Classificação aritmética dos números em pares, ímpares, primos e fatoráveis;

·        “Criação de um modelo de definições, axiomas, teoremas e provas, segundo o qual a estrutura intrincada da Geometria é obtida de um pequeno número de afirmações explicitamente feitas e da ação de um raciocínio dedutivo rigoroso”. (George Simmons).

·        Grande celeuma instalou-se entre os discípulos de Pitágoras a respeito da irracionalidade do “raiz de dois”. Utilizando notação algébrica, os pitagóricos não aceitavam qualquer solução numérica para x² = 2, pois só admitiam números racionais. Dada a conotação mística atribuída aos números, comenta-se que, quando o infeliz Hipaso de Metaponto propôs uma solução para o impasse, os outros discípulos o expulsaram da Escola e o afogaram no mar;

·        Na astronomia, ideias inovadoras, embora nem sempre verdadeiras: a Terra é esférica, os planetas movem-se em diferentes velocidades nas várias órbitas ao redor da Terra. Pela cuidadosa observação dos astros, cristalizou-se a ideia de que há uma ordem que domina o Universo;

·        Aos pitagóricos deve-se provavelmente a construção do cubo, do tetaedro, do octaedro, do dodecaedro e a bem conhecida “seção áurea”;

·        Na música, uma descoberta notável de que os intervalos musicais se colocam de modo que admitem expressões através de proporções aritméticas. Pitágoras – assim como outros filósofos gregos pré-socráticos – também descreveu o poder do som e seus efeitos sobre a psique humana. Essa experiência musicoterápica possivelmente foi utilizada mais tarde por Aristóteles como base teórica para sua definição de música, que, segundo ele, era uma “arte medicinal”.

        Pitágoras é o primeiro matemático puro. Entretanto é difícil separar o histórico do lendário, uma vez que deve ser considerado uma figura imprecisa historicamente, já que tudo o que dele sabemos deve-se à tradição oral. Nada deixou escrito, e os primeiros trabalhos sobre o mesmo deve-se a Filolau, quase 100 anos após a morte de Pitágoras. Mas não é fácil negar aos pitagóricos – assevera Carl Boyer – “o papel primordial para o estabelecimento da Matemática como disciplina racional”. A despeito de algum exagero, há séculos cunhou-se uma frase: “Se não houvesse o ‘Teorema de Pitágoras’, não existiria a Geometria.”

         Ao biografar Pitágoras, Jâmblico (cerca de 300 d.C.) registra que o mestre vivia repetindo aos discípulos: “Todas as coisas se assemelham aos números”.

Arquimedes

         A Escola Pitagórica ensejou forte influência na poderosa verba de Euclydes, Arquimedes e Platão, na antiga era cristão, na Idade Média, na Renascença e até em nossos dias com o Neopitagorismo.