ÁLGEBRA

         Álgebra (do árabe “al-jabr”, que literalmente significa “reunião de partes quebradas”) é uma das partes mais amplas da matemática, juntamente com a teoria dos números, geometria e análise. Em sua forma mais geral, a álgebra é o estudo de símbolos matemáticos e as regras para manipular esses símbolos. É um fio unificador de quase toda a matemática e, como tal, inclui tudo, desde a resolução de equações elementares ao estudo de abstrações, como grupos, anéis e campos. As partes mais básicas da álgebra são chamadas de álgebra elementar ou álgebra moderna. A álgebra elementar é geralmente considerada essencial para qualquer estudo de matemática, ciências ou engenharia, bem como em aplicações na medicina e na economia. A álgebra abstrata é uma área importante na matemática avançada, estudada principalmente por matemáticos profissionais.

        

A álgebra elementar difere da aritmética no uso de abstrações, como o uso de letras para representar números que são desconhecidos ou que podem assumir muitos valores. Por exemplo, a letra é desconhecida, mas a lei das inversas pode ser usada para descobrir o seu valor.  Em E = mc², as letras E e M são variáveis, e a letra C é uma constante, a velocidade da luz no vácuo. A álgebra fornece métodos para escrever fórmulas e resolver equações que são muito mais claras e fáceis do que o método mais antigo de escrever tudo em palavras.

        

A palavra álgebra também é usada de maneira especializada. Um tipo especial de objeto matemático na álgebra abstrata é chamado de "álgebra", e a palavra é usada, por exemplo, nas frases álgebra linear e topologia algébrica. Um matemático que faz pesquisa em álgebra é chamado de algebrista.

ETIMOLOGIA

        

A palavra álgebra vem do árabe الجبر (al-jabr lit. "a reunião de partes quebradas") do título do livro Ilm al-jabr wa'l-muḳābala pelo matemático persa e astrônomo al-Khwarizmi. A palavra entrou na língua inglesa durante o décimo quinto século, a partir do latim espanhol, italiano ou medieval. Referia-se originalmente ao procedimento cirúrgico de colocação de ossos quebrados ou deslocados. O significado matemático foi registrado pela primeira vez no século XVI.

DIFERENTES SIGNIFICADOS DE “ÁLGEBRA”

        

A palavra “álgebra” tem vários significados relacionados em matemática, como uma única palavra ou com qualificadores.

·        Como uma única palavra, sem um artigo, “álgebra” nomeia uma ampla parte da matemática;

·        Como uma única palavra com um artigo, ou no plural, “uma álgebra” ou “álgebras” denota uma estrutura matemática específica, cuja definição precisa depende do autor. Geralmente, a estrutura tem uma adição, multiplicação e uma multiplicação escalar. Quando alguns autores usam o termo “álgebra”, eles fazem um subconjunto dos seguintes pressupostos adicionais: associativa, comutativa, unital e/ou finito-dimensional. Na álgebra universal, a palavra “álgebra” refere-se a uma generalização do conceito acima, que permite operações n-ária. Com um qualificado, há a mesma distinção:

·        Sem um artigo, significa que uma parte da álgebra, tais como álgebra linear, álgebra elementar (os símbolos, as regras de manipulação ensinadas em cursos elementares de matemática como parte do ensino primário e secundário), ou álgebra abstrata (o estudo das estruturas algébricas para si próprios).

·        Com um artigo, significa que uma instância de uma estrutura abstrata, como uma álgebra de Lie, uma álgebra associativa ou uma álgebra de operador de vértice.

·        Às vezes ambos os significados existem para o qualificador mesmo, como na frase: álgebra comutativa é o estudo de anéis, que são álgebras comutativas sobre os inteiros.

ÁLGEBRA COMO UM RAMO DA MATEMÁTICA

        

A álgebra começou com cálculos semelhantes da aritmética, utilizando-se de letras e números. Isto permitiu provar que as propriedades de uma equação são verdadeiras não importa quais os números que estejam envolvidos. Por exemplo, a equação quadrática, ax²+bx+c=0, onde “a”, “b”, “c” pode ser qualquer número de qualquer tipo (exceto que “a” não pode ser igual a 0 [zero]) sendo que a fórmula quadrática pode ser usada para rapidamente e facilmente encontrar os valores da quantidade desconhecida “x” que satisfazem a equação. Ou seja, para encontrar todas as soluções da equação.

        

Historicamente e no ensino atual, o estudo da álgebra começa com a resolução de equações como a equação quadrática (ax²+bx+c=0).  Em geral, pergunta-se: “uma equação tem uma solução?”, ou “Como uma equação pode ter várias soluções?”, ou ainda, “O que pode ser dito sobre a natureza das soluções de equações?” Estas perguntas levam a ideias de forma, estrutura e simetria, e este desenvolvimento é permitido à álgebra sendo estendido para considerar objetos não-numéricos, como vetores, matrizes e polinômios. As propriedades estruturais desses objetos não numéricos então foram abstraídos para definir estruturas algébricas como grupos, anéis e campos.

        

Antes do século XVI, a matemática foi dividida em apenas dois subcampos, aritmética e geometria. Apesar de alguns métodos, que haviam sido desenvolvidos anteriormente, podem ser considerados até os dias atuais como álgebra, o surgimento da álgebra e, logo depois, do cálculo infinitesimal como subcampos da matemática única, datam do século XVII. A partir da segunda metade do século XIX apareceram vários novos campos da matemática, que fizeram uso da aritmética e da geometria, e também usados na álgebra.

        

Nos dias atuais, a álgebra tem crescido e até inclui muitos ramos da matemática, como pode ser visto na matemática da classificação subjetiva. Hoje a álgebra inclui seção geral algébrica de sistemas, teoria de campo e polinômios, álgebra comutativa, álgebra multilinear e linear; teoria matricial, anéis, associativa e algébricas, categoria e teoria, álgebra homológica, teoria-K e grupo. A álgebra também é usada extensivamente em teoria dos números e na geometria algébrica.

HISTÓRIA

INÍCIO DA HISTÓRIA DA ÁLGEBRA

        

As raízes da álgebra pode ser rastreadas entre os babilônicos antigos, que desenvolvera um sistema aritmético avançado, com o qual eles foram capazes de fazer cálculos de forma algorítmica. Os babilônicos desenvolvera fórmulas para calcular soluções para problemas normalmente resolvidos nos dias atuais através de equações lineares, equações quadráticas e indeterminas lineares.

        

Por outro lado, a maioria dos egípcios desta mesma época, bem como a matemática grega e chinesa do 1.º milênio a.C., resolviam equações por métodos geométricos, como os descritos no papiro matemático de Rhind, assim como os elementos de Euclydes nos nove capítulos sobre a arte da matemática. O trabalho geométrico dos gregos tipificadas nos elementos, proporcionaram um quadro propício para a generalização de fórmulas, além da solução de problemas específicos em sistemas mais gerais que afirmavam resolver por equações, embora isso encontrou uma série de dificuldades que só foram resolvidas com a matemática que foi desenvolvida no Islã Medieval.

        

Na época de Platão, a matemática grega sofreu uma drástica mudança. Os gregos criaram uma álgebra geométrica onde os termos foram representados pelos lados de objetos geométricos, geralmente as linha é que eram associadas à letras. Diofanto (século III d.C.) foi um matemático grego Alexandrino e autor de uma série de livros chamados Arithmetica. Estes textos procuram lidar com a resolução de equações algébrica e levaram na teoria dos números da moderna matemática o nome de equação diofantina.

        

As antigas tradições matemáticas influenciaram diretamente o matemático persa Muhammad ibn Mūsā al-Khawārizmī (cerca de 780 – 850). Mais tarde, ele escreveu o livro Compêndio sobre Cálculo por Conclusão e Balanceamento que estabeleceu a álgebra como uma disciplina matemática é independente da geometria e aritmética.

        

Os matemáticos helenísticos, Herói de Alexandria e Diofanto, bem como os matemáticos indianos como Brahmagupta continuaram as tradições do Egito e da Babilônia, embora Arithmetica de Diofanto e Brāhmasphutasiddhānta de Brahmagupta sejam de um nível mais elevado. Como exemplo podemos citar a primeira solução de aritmética completa (incluindo o zero e os números negativos nas soluções) de equações quadráticas que foi descrita no Brahmagupta em seu livro Brāhmasphutasiddhānta. Mais tarde, matemáticos persas e árabes desenvolveram métodos algébricos para um grau bem maior de sofisticação. Diofanto e matemáticos babilônicos usaram métodos especiais para resolver equações, onde a contribuição de Al-Khwarizmi foi fundamental. Ele resolveu exercícios de álgebra linear e equações quadráticas sem simbolismo algébrico, e sem números negativos ou zero, distinguindo vários tipos de equações.

        

No contexto onde a álgebra é identificada com a teoria das equações, o matemático grego Diofanto é tradicionalmente conhecido como o “pai da álgebra”, já no contexto das regras para a manipulação e resolução de equações, é o matemático persa Al-Khwarizmi, que é considerado o “pai da álgebra”. Aqueles que apoiam a paternidade de Diofanto apontam para o fato de que a álgebra encontrada em Al-Jabr é ligeiramente mais elementar do que a álgebra encontrada em Arithemetica, sendo esta mais sincopado, enquanto Al-Jabr é totalmente retórico. Aqueles que apoiam Al-Khwarizmi apontam para o fato de que ele introduziu os métodos de “redução” e “balanceamento” (a transposição de termos subtraídos para o outro lado da equação, ou seja, o cancelamento de termos em lados opostos da equação). O Al-Jabr deu uma explicação exaustiva para resolver equações quadráticas, apoiadas por provas geométricas, e tratou a álgebra como uma disciplina independente, onde ele não se preocupa com uma série de problemas para ser resolvido, mas com uma exposição que começa com termos primitivos, onde as combinações devem dar todos os protótipos possíveis para equações, que constituem o verdadeiro objeto de estudo. Ele também estudou uma equação para ser resolvida de forma genérica, não emergindo do decurso da resolução de um problema, mas especificamente definindo uma classe infinita de problemas.

        

Outro matemático persa Omar Khayyam é creditado com a identificação dos fundamentos da geometria algébrica e encontrou a solução geométrica geral da equação cúbica. Seu livro Tratado sobre Manifestações de Problemas de Álgebra (1070), que estabeleceu os princípios da álgebra, é parte do corpo da matemática persa que eventualmente foi transmitida à Europa. Outro matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi, teria encontrado soluções algébricas e numéricas para vários casos de equações cúbicas. Ele também desenvolveu o conceito de função. Os matemáticos indianos Mahavira e Bhaskara II, o matemático persa Al-Karaji e o matemático chinês Zhu Shijie resolveram vários casos de equações polinomiais cúbicas, quadráticas, quíntupla e de ordem superior, usando métodos numéricos. No século XIII, a solução de uma equação cúbica por Fibonacci é representante do início de um reavivamento da álgebra europeia.

        

Abū al-Hasan Ibn Alī al-Qalasādī (1412 – 1486) levou “os primeiros passos para a introdução do simbolismo algébrico”. Ele também calculou a Σ n², Σ n³ e usou o método de aproximação sucessiva para determinar raízes quadradas. O mundo islâmico se encontrava em declínio e o Europeu em ascensão é na Europa que a álgebra passará a ser desenvolvida.

HISTÓRIA DA ÁLGEBRA MODERNA

        

O trabalho de François Viète, “Nova Álgebra”, editado no final do século XVI foi um passo importante para a álgebra moderna. Em 1637, René Descartes publicou “La Géométrie”, inventando a geometria analítica e introduz a notação algébrica moderna. Um outro evento chave no desenvolvimento da álgebra foi a solução algébrica geral das equações cúbicas e quadráticas, desenvolvido nos meados do século XVI. A ideia de um determinante foi desenvolvida pelo matemático japonês Seki Kōwa no século XVII, seguido independentemente por Gottfried Leibniz dez anos mais tarde, com a finalidade de resolver sistemas de equações lineares simultâneas usando matrizes. Gabriel Cramer também fez alguns trabalhos sobre matrizes e determinantes no século XVIII.

Em seu escrito de 1770 “Réflexions sur la Résolution Algébrique des Équations”, dedicado a soluções de equações algébricas, apresentou os resolventes de Lagrange, onde permutações foram estudadas por Joseph-Louis Lagrange, enquanto Paolo Ruffini foi a primeira pessoa a desenvolver a teoria dos grupos de permutação na resolução de equações algébricas.

         

A       álgebra abstrata foi desenvolvida no século XIX, derivando do interesse da resolução de equações, inicialmente com foco no que é chamado teoria de Galois e sobre questões de construibilidade. George Peacock foi o fundador do pensamento axiomático em aritmética e álgebra. Augusto De Morgan descobriu a relação algébrica em seu “Syllabus of a Proposed System of Logic”. Josiah Willard Gibbs desenvolveu a álgebra de vetores no espaço tridimensional, e Arthur Cayley desenvolveu a álgebra de matrizes (isto é, uma álgebra não comutativa).

ÁREAS ALGÉBRICAS DA MATEMÁTICA

        

Algumas áreas da matemática utilizam-se de uma denominação abstrata para a álgebra, a álgebra linear é um exemplo. Já outros não utiliza o nome álgebra, mas o são, como a teoria dos grupos, teoria do anel e teoria dos campos, formam alguns exemplos. Seguem outros exemplo:

·        Álgebra Elementar, parte da álgebra que geralmente é ensinada em cursos elementares de matemática;

·        Álgebra Abstrata, no qual investiga-se estruturas algébricas como grupos, anéis e campos que são definidas axiomaticamente;

·        Álgebra Linear, no qual são estudadas as propriedades específicas das equações lineares, espaços vetoriais e matrizes:

·       

Álgebra de Boole, é um ramo da álgebra, que abstraindo a computação, trabalha com os valores false e true;

·        Álgebra Comutativa, estuda os anéis comutativos;

·        Álgebra do Computador, é a implementação dos métodos algébricos como algoritmos e programas de computador.

·       

Álgebra Homológica, é o estudo das estruturas algébricas que são fundamentais para o estudo de espaços topológicos (que são estruturas que permitem a formalização de conceitos tais como convergência, conexidade e continuidade, aparecem em praticamente todos os ramos da matemática moderna e são uma noção unificadora central, sendo que o ramo que estuda os espaços topológicos é denominado topologia);

     Álgebra Universa, nas quais as propriedades dos números são estudadas em estruturas algébricas comuns;

·        Teoria Algébrica dos Números, onde as propriedade dos números são estudadas do ponto de vista algébrico;

·       

Geometria Algébrica, abrange um ramo da geometria, na sua forma primitiva especificando as curvas e superfícies como solução de equações polinomiais;

·        Álgebra Combinatória, em que os métodos algébricos são utilizados para estudar questões combinatórias;

·        Álgebra Relaciona, um conjunto de relações finitárias que é fechado sob certos operadores;

·        Muitas estruturas matemática são chamadas de álgebra:

·        Álgebra sobre um campo ou mais geralmente Álgebra sobre um anel.

         Muitas classes de álgebra sobre um campo ou sobre um anel têm nome especifico:

·        Álgebra Associativa;

·        Álgebra não Associativa;

·        Álgebra de Mentira;

·        Álgebra de Hopf;

·        Álgebra C*;

·        Álgebra Simétrica;

·        Álgebra Exterior;

·        Álgebra Tensorial.

         Na Teoria das Medidas:

·        Álgebra Sigma;

·        Álgebra sobre um Conjunto;

         Na Teoria das Categorias:

·        F – álgebra e F – coalgebra;

·        Álgebra T;

         Na Lógica:

·        Álgebra de Relação, uma álgebra booleana expandida com uma involução chamada converse;

·        Álgebra Booleana, uma rede distributiva complementada;

·        Álgebra de Heyting

ÁLGEBRA ELEMENTAR

        

Álgebra elementar é a forma mais básica de álgebra. É ensinada aos estudantes que presume que não tenham conhecimento dos princípios básicos de aritmética. Em aritmética, apenas números e suas operações aritméticas, como +, -, x, ÷, podem ocorrer. Em álgebra, números são muitas vezes representados por símbolos, chamados de variáveis, tais como a, b, n, x, y, z. Isso é útil porque:

·        Permite a formulação de leis aritméticas (tais como a + b = b + a) e, portanto, é o primeiro passo para uma exploração sistemática das propriedades do sistema de número real.

·        Permite a referência a números “desconhecidos”, na formulação de equações e no estudo de como resolver isto (Por exemplo, “encontrar um número x tal que 3x + 1 = 10”, ou aprofundando um pouco mais, “encontrar um número x de modo que ax + b = c”. Esta etapa leva à conclusão de que não é a natureza dos números específicos que permitem-na resolvê-lo, mas sim, as operações envolvidas).

·        Permite a formulação de relações funcionais. (Por exemplo, “se você vender x ingressos, então seu lucro será 3x – 10 dólares, ou f(x) = 3x – 10, onde f é a função, e x é número para o qual a função é aplicadas”).

POLINÔMIOS

        

Um polinômio é uma expressão que é a soma de um número finito de termos diferentes de zero, cada termo consistindo no produto de uma constante e número finito de variáveis elevadas a potências numéricas inteiras Por exemplo, (x² + 2x – 3) é um polinômio na variável única x. Uma expressão polinomial é uma expressão que pode ser reescrita como um polinômio, usando comutatividade, associatividade e distributividade de adição e multiplicação. Por exemplo, (x – 1) (x + 3) é uma expressão polinomial que, propriamente falando, não é um polinômio. Uma função polinomial é uma função que é definida por um polinômio, ou, equivalente, por uma expressão polinomial. Os dois exemplos anteriores definem a mesma função polinomial.

        

Dois problemas importantes e relacionados na álgebra são a fatoração de polinômios, isto é, expressar um dado polinômio como um produto de outros polinômios que não podem ser fatorados mais adiante, e o cálculo dos maiores divisores comuns polinomiais. O polinômio de exemplo acima pode ser fatorado como (x – 1) (x + 3). Uma classe relacionada de problemas é encontrar expressões algébricas para as raízes de um polinômio em uma única variável.

EDUCAÇÃO

        

Tem sido sugerido que a álgebra elementar deva ser ensinada aos alunos a partir dos onze anos de idade, embora nos últimos anos é mais comum para as escolas públicas começarem nos oitavos anos (aproximadamente 13 anos de idade) no Estados Unidos, no entanto algumas escolas tem iniciado a álgebra no 9.º ano.

ÁLGEBRA ABSTRATA

        

A álgebra abstrata estende os conceitos familiares encontrados na álgebra elementar e da aritmética dos números para conceitos mais gerais. Aqui estão listados os conceitos fundamentais em álgebra abstrata:

·        Conjuntos: Em vez de considerar apenas os diferentes tipos de números, a álgebra abstrata lida com o conceito mais geral de conjuntos: uma coleção de todos os objetos (denominados elementos) selecionados por propriedade específica para o conjunto. Todas as coleções dos tipos familiares de números são conjuntos. Outros exemplos de conjuntos incluem o conjunto de todas as matrizes dois-por-dois, o conjunto de todos os polinômios de segundo grau (ax² + bx + c), o conjunto de todos os vetores bidimensionais no plano e os vários grupos finitos, como os grupos cíclicos, que são os grupos de inteiros módulo “n”. A teoria dos conjuntos é um ramo da lógica e não tecnicamente um rama da álgebra.

·        Operações Binárias: A noção de adição (+) é abstraída para fornecer uma operação binária. A noção de operação binária não tem sentido sem o conjunto no qual a operação é definida. Para dois elementos a e b em um conjunto S, a x b é outro elemento no conjunto; essa condição é chamada de fechamento. Adição (+), subtração (-), multiplicação (x) e divisão (÷) podem ser operações binárias quando definidas em conjuntos diferentes, assim como adição e multiplicação de matrizes, vetores e polinômios.

·        Elementos de Identidade: os números zero e um são abstraídos para da a noção de um elemento de identidade para a operação. Zero é o elemento de identidade para adição e um o elemento de identidade para multiplicação. Para um operador binário geral *, o elemento de identidade e deve satisfazer a * b =  b e b * a = a, e é necessariamente único, se existir. Isso vale para adição como a + 0 = a e 0 + a = a e multiplicação a x 1 = a e 1 x a = a. Nem todos os conjuntos e combinações de operadores possuem um elemento de identidade; por exemplo, o conjunto dos números naturais positivos {1, 2, 3...} não possui elemento de identidade para a adição.

·        Elementos Inversos: os números negativos dão origem ao conceito de elementos inversos. Para adição, o inverso de a é escrito como –a, e para multiplicação o inverso é escrito aˉ¹. Um elemento inverso de dois lados  aˉ¹ satisfaz a propriedade que a * aˉ¹ = b e aˉ¹ * a = b, onde o b é o elemento identidade.

·        Associatividade: Adição de inteiros tem uma propriedade chamada associatividade. Ou seja, o agrupamento dos números a serem adicionados não afeta a soma. Por exemplo: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Em geral, isso se torna (a * b) * c = a * (b * c). Esta propriedade é compartilhada pela maioria das operações binárias, mas não pela subtração ou divisão ou multiplicação de ocônia. (as ocônias são uma divisão algébrica normalizada sobre números reais, o que significa que é um sistema de números hipercomplexos, as ocônias são geralmente representadas pela letra O).

·        Comutatividade: A adição e multiplicação de números reais são comutativas. Ou seja, a ordem dos números não afeta o resultado. Por exemplo: 2 + 3 = 3 + 2. Em geral, isso se torna a * b = b * a. Esta propriedade não é válida para todas as operações binárias. Por exemplo, multiplicação de matrizes e multiplicação de quaterniões são ambas não comutativas.

GRUPOS

        

Combinar os conceitos acima fornece uma das estruturas mais importantes da matemática: um grupo. Um grupo é uma combinação de um conjunto S e uma única operação binária definida da maneira que for escolhida, mas com as seguintes propriedades:

·        Existe um elemento identidade tal que para cada membro a de S, b * a e a * b são ambos idênticos a a;

·        Todo elemento tem um inverso: para cada membro a de S, existe um membro aˉ¹ tal que a * aˉ¹ e aˉ¹ * a são ambos idênticos ao elemento identidade;

·        A operação associativa: se a, b e c são membros de S, então (a * b) * c é idêntico a a * (b * c).

        

Se um grupo também é comutativo, isto é, para quaisquer dois membros a e b de S, a * b é idêntico a b * a, então o grupo é considerado abeliano (grupo no qual o resultado da aplicação da operação de grupo para dois elementos do grupo não dependem da ordem no qual eles são escritos, ou seja, são grupos que obedecem o axioma da comutatividade, eles foram nomeados após o início do século XIX pelo matemático Niels Henrik Abel).

         Por exemplo, o conjunto de inteiros sob a operação de adição é um grupo. Neste grupo, o elemento de identidade é o 0 (zero) e o inverso de qualquer elemento é sua negação, -a. O requisito de associatividade é atendido, porque para quaisquer inteiros a, b, c, (a + b) + c = a + (b + c). Os números racionais diferentes de zero formam um grupo sob multiplicação. Aqui, o elemento de identidade é 1, desde que 1 x a = a x 1 = a para qualquer número racional a. O inverso é 1/a, desde a x 1/a = 1.  Os inteiros sob a operação de multiplicação, no entanto, não formam um grupo. Isso ocorre porque, em geral, o inverso multiplicativo de um inteiro não é um inteiro. Por exemplo, 4 é um inteiro, mas seu inverso ¼ , não é um inteiro.

        

O grande resultado da teoria de grupos é a classificação dos grupos finitos simples, em sua maioria publicados por volta de 1955 a 1983, que separa os grupos simples finitos em cerca de 30 tipos básicos. Semigrupos, quasigrupos e monoides são estruturas semelhantes a grupos que compões um conjunto e uma operação binária fechada, mas associativa, mas não pode ter um elemento de identidade. Um monoide é um semigrupo que tem um identidade, mas pode não ter um inverso para cada elemento. Um quasigrupo satisfaz um requisito de que qualquer elemento pode ser transformado em qualquer outro, por uma única multiplicação à esquerda ou uma única multiplicação à direita, no entanto, a operação binária pode não ser associativa. Todos os grupos são monoides, e todos os monoides são subgrupos.

ANÉIS E CAMPOS

         Para explicar o comportamento dos diferentes tipos de números, estruturas com dois operadores precisam ser estudados. O mais importante destes é anéis e campos.

         Um anel tem duas operações binárias (+) e (×), com × distributiva sobre +. Sob o primeiro operador (+) dá forma a um grupo abeliano. Sob o segundo operador (×) é associativa, mas não precisa ter identidade ou inversa, então divisão não é necessária. O elemento neutro aditivo (+) é escrito como 0 e o inverso aditivo de um escrito como −a.

A distributividade generaliza a lei distributiva para números. Para os inteiros (a + b) × c = a × c + b × c e c × (a + b) = c × a + c × b, e × é dito ser distributivo acima de +.

           

Os inteiros são um exemplo de um anel. Os inteiros possuem propriedades adicionais que fazem dele um domínio integral.

            Um campo é um anel com a propriedade adicional de que todos os elementos, excluindo 0, formam um grupo abeliano em ×. A identidade multiplicativa (x) é escrita como 1 e o inverso multiplicativo de a é escrito como um −1.

            Os números racionais, os números reais e os números complexos são todos exemplos de campos.